A. $-\left(\sqrt[3]{a}+1\right)$      B. $-\sqrt{a+1}$      C. $-\sqrt{a}$      D. $-\left(\sqrt{a}+1\right)$

**【答案】D**

**【分析】**本题考查了算术平方根、立方根的意义，根据算术平方根和立方根的意义逐项分析即可．

**【详解】**解：
A. 当 $a=-1$ 时，$-\left(\sqrt[3]{a}+1\right)=-(-1+1)=0$，故不符合题意；
B. 当 $a=-1$ 时，$-\sqrt{a+1}=-\sqrt{0}=0$，故不符合题意；
C. 当 $a=0$ 时，$-\sqrt{a}=0$，故不符合题意；
D. $\because \sqrt{a} \ge 0, \therefore -\left(\sqrt{a}+1\right) \le -1$，故符合题意；

故选D．