【问题发现】(1) 如图1，把两个边长为$1$的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的$4$个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形．所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】(2) 爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为$3$和$2$的长方形沿对角线剪开，将所得到的$4$个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形．所得到的小正方形$EFGH$的边长为________；大正方形$ABCD$的面积为________；边长为________． 【拓展延伸】(3) 小明想用一块面积为$900\ \mathrm{cm^2}$的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为$740\ \mathrm{cm^2}$的长方形纸片，使它的长与宽之比为$5:4$．请通过计算说明是否可行．

【答案】(1) $2$，$\sqrt{2}$；(2) $1$，$13$，$\sqrt{13}$；(3) 不可行，理由见详解

【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根．

(1) 根据大正方形的面积$=2$个小正方形的面积和，即可得解；

(2) 根据大正方形的面积$=4$个直角三角形的面积$+$小正方形的面积即可解答；

(3) 设裁出的长方形纸片的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$4x\ \mathrm{cm}$，根据题意列出方程，计算即可解答．

【详解】解：(1) 由题意得：所得到的大正方形面积为$1+1=2$，边长为$\sqrt{2}$；

(2) 由题意得：所得到的小正方形$EFGH$的边长为$3-2=1$；大正方形$ABCD$的面积为：$4\times\dfrac{1}{2}\times3\times2+1^2=13$；边长为$\sqrt{13}$；

(3) 不可行，理由如下：

设裁出的长方形纸片的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$4x\ \mathrm{cm}$，

则$5x\cdot4x=740$，

$\therefore x=\sqrt{37}$（负值舍去）．

$\therefore$ 裁出的长方形纸片的长为 $5\sqrt{37}\ \mathrm{cm}$，即 $\sqrt{925}\ \mathrm{cm}$，且该长度大于 $30\ \mathrm{cm}$．

$\therefore$ 不能用一块面积为$900\ \mathrm{cm^2}$的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为$740\ \mathrm{cm^2}$的长方形纸片，使它的长与宽之比为$5:4$．