【分析】
（1）①根据关联角所满足的关系式$∠β=∠α+30°$即可解答；
②解$∠β=∠α+30°$与$2∠α-∠β=45°$构成的方程组，根据$∠α$和$∠β$的关系来确定直线$l_1$，$l_2$的位置关系。
（2）①由$∠AGH$与$∠BGH$、$∠CHG$与$∠DHG$的互补关系，求出$∠DHG$与$∠BGH$之间的大小关系，进而命题得以证明。
②根据直线$MN$过点$O$的形式可分4种情况，每种情况均有2个角与$∠EOP$互为同旁内角，因此共有4种情况，分别解出$∠EOP$的度数即可。

【解答】
解：（1）①$∵∠β$是$∠α$的关联角，$∠α=50°$，
$∴∠β=∠α+30°=50°+30°=80°$。
故答案为：$80$。

②由题意可得方程组：
$∠β = ∠α + 30°$
$2∠α – ∠β = 45°$
解得：
$∠α = 75°$
$∠β = 105°$
$∴∠α+∠β=75°+105°=180°$，
$∴l_1 \parallel l_2$。
故答案为：平行。

（2）①证明：$∵∠AGH$是$∠CHG$的关联角，
$∴∠AGH=∠CHG+30°$，
又$∵∠DHG=180°-∠CHG$，$∠BGH=180°-∠AGH$，
$∴∠DHG-∠BGH=180°-∠CHG-(180°-∠AGH)=∠AGH-∠CHG=30°$，
$∴∠DHG=∠BGH+30°$，
$∴∠DHG$是$∠BGH$的关联角。

②当直线$MN$位于如图所示位置时：

$∵∠AGH$是$∠CHG$的关联角，$∠CHG=80°$，
$∴∠AGH=∠CHG+30°=80°+30°=110°$。
若$∠EOP$是$∠AGO$的关联角，则$∠EOP=∠AGO+30°=110°+30°=140°$。
若$∠EOP$是$∠CPO$的关联角，则$∠EOP=∠CPO+30°=80°+180°-∠EOP+30°=290°-∠EOP$，
得$∠EOP=145°$。

当直线$MN$位于备用图所示位置时：

$∵∠AGH=110°$，$∠CHG=80°$，
$∴∠BGH=180°-∠AGH=180°-110°=70°$，$∠GHD=180°-∠CHG=180°-80°=100°$。
若$∠EOP$是$∠BGO$的关联角，则$∠EOP=∠BGO+30°=70°+30°=100°$，
∵∠EOP=∠GHD+∠OPH=100°+∠OPH>100°，
$∴∠EOP=100°$（舍去）。
若$∠EOP$是$∠DPO$的关联角，则$∠EOP=∠DPO+30°=100°+180°-∠EOP+30°=310°-∠EOP$，
得$∠EOP=155°$。

故答案为：$140°$、$145°$或$155°$。